타원 완전 개념 | 코스터디

타원은 ‘거리의 합’으로 만든다

핀 두 개에 실을 걸고 팽팽하게 움직이면 왜 타원이 될까요?

초점 F₁, F₂움직이는 점 P타원

점 P의 위치 θ

그래프의 점 P를 직접 끌거나 ← → 키로 슬라이더를 조절하세요.

인쇄 기본 상태:

P = (4, \frac{9}{5}), P F_{1} = \frac{41}{5}, P F_{2} = \frac{9}{5}, 합 = 10 = 2 a

정의. 평면 위의 서로 다른 두 정점 F₁, F₂에서부터의 거리의 합이 일정한 점 P의 자취를 타원이라 하며, F₁, F₂를 초점이라 합니다.

P F_{1} + P F_{2} = 2 a

존재 조건: 거리의 합은 두 초점 사이의 거리보다 커야 하므로 $2 a > F_{1} F_{2} = 2 c$ 이다.

표준형과 여섯 가지 구성 요소

큰 분모가 장축 방향을 결정하고, a·b·c는 한 식으로 연결됩니다.

장축 방향

장반경 a

단반경 b

중심 x좌표 p

중심 y좌표 q

중심

C(p, q)

타원의 대칭 중심

축과 꼭짓점

장축 2a · 단축 2b

장축 양 끝이 주꼭짓점

초점거리

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$

중심에서 초점까지 c

가로형: \frac{{(x - p)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - q)}^{2}}{b^{2}} = 1

세로형: \frac{{(x - p)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - q)}^{2}}{a^{2}} = 1

판별 요령: a>b로 약속합니다. 따라서 큰 분모 a²가 놓인 변수의 방향이 장축 방향입니다.

접점이 주어진 접선

접점 좌표를 ‘제곱 자리에 한 번씩 나눠 넣는’ 공식입니다.

기본 조건: 먼저 원점 중심 가로형 x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)에서 공식을 확인한다.

접점 P의 위치 θ

P(x_{1}, y_{1})에서: \frac{x x_{1}}{a^{2}} + \frac{y y_{1}}{b^{2}} = 1

가로형 C(p,q): \frac{(x - p) (x_{1} - p)}{a^{2}} + \frac{(y - q) (y_{1} - q)}{b^{2}} = 1

세로형 C(p,q): \frac{(x - p) (x_{1} - p)}{b^{2}} + \frac{(y - q) (y_{1} - q)}{a^{2}} = 1

P가 해당 타원 위의 점인지 먼저 확인한다.

가로형과 세로형에서 a², b²의 분모 위치를 구분한다.

직선과 타원을 연립한 이차방정식의 판별식이 0, 즉 접점에서 중근인지 확인한다.

짧은 근거: 타원의 식을 F(x,y)=0이라 두면 접점에서 그래디언트 ∇F가 접선의 법선 방향이므로 위 접점식을 얻고, 연립식의 판별식 D=0으로도 같은 결과를 확인할 수 있다.

조건 주의: P가 타원 위에 있지 않으면 이 식은 ‘P를 지나는 접선’이 아니다.

기울기가 주어진 두 평행접선

같은 기울기에는 보통 위·아래 두 접선이 존재합니다.

기본 조건: 먼저 원점 중심 가로형 x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)에서 공식을 확인한다.

기울기 m

y = m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}

가로형 C(p,q): y - q = m (x - p) \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}

세로형 C(p,q): y - q = m (x - p) \pm \sqrt{b^{2} m^{2} + a^{2}}

가로형에서 직선 y=mx+n을 대입하고 교점에 관한 이차방정식이 중근을 갖도록 판별식 D=0을 적용하면 n²=a²m²+b²을 얻는다. 세로형에서는 a², b²의 위치가 바뀌어 근호가 √(b²m²+a²)이 된다.

대표 상태 m=1/2: 원점 중심 x²/25+y²/9=1에서는 2y=x±√61이며 접점은 (−25/√61,18/√61)과 그 반대쪽 대응점이다.

수직접선 예외: 기울기 m이 없는 접선은 가로형에서 x=p±a, 세로형에서 x=p±b이며 위 공식과 별도로 확인한다.

외부점의 두 접선과 준원 심화

두 접선이 직각이 되는 외부점은 놀랍게도 하나의 원 위에 모입니다.

타원준원외부점 Q(u,v)

준원 위 점 Q의 위치 φ

Q를 끌어서 준원 위를 움직일 수도 있다. 축 가까이에서는 한 접선이 수직이 되는 특별한 모습도 확인한다.

① 외부점 Q(u,v)에서 접선 두 개

원점 중심 가로형에서 Q(u,v)를 지나는 직선 y−v=m(x−u)이 접선이 되도록 하면

(u^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 u v m + (v^{2} - b^{2}) = 0

② 두 접선이 수직

두 접선의 기울기가 모두 유한할 때만 m₁m₂=−1을 적용할 수 있다. 이 조건으로

원점 중심 준원: u^{2} + v^{2} = a^{2} + b^{2}

바로 연결되는 수직 예외: x²/25+y²/9=1의 준원 위 Q=(5,3)에서는 접선이 x=5, y=3이다. 한 접선의 기울기가 유한하지 않아 m₁m₂를 쓸 수 없지만 두 직선은 수직이다.

준원의 정의. 타원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 그 점의 자취를 타원의 준원이라 한다.

일반 중심 C(p,q)의 준원: {(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = a^{2} + b^{2}

외부점 Q(u,v)가 이 준원 위에 있을 조건은 (u−p)²+(v−q)²=a²+b²이다.

일반 외부점 예: 원점 중심 타원에서 Q=(6,0)의 두 접선 기울기는 ±3/√11이다. 두 접선은 존재하지만 서로 수직은 아니므로 Q는 준원 위의 점이 아니다.

준원과 준선을 혼동하지 않는다. 준원은 위의 원이고, 준선은 이심률의 거리비 정의에 쓰이는 직선이다.

타원을 더 깊게 보는 여섯 창

공식들을 하나의 기하적 그림으로 연결합니다.

이심률

얼마나 납작한가?

e = \frac{c}{a}, 0 \leq e < 1

이심률 e

서로 다른 두 초점에서는 0<e<1이고, 확장 상태 e=0은 원이다. e가 1에 가까울수록 더 납작해진다.

반사 성질

한 초점의 빛은 다른 초점으로

한 초점에서 나온 빛이 타원에 반사되면 다른 초점을 향합니다. 접선과 두 초점 방향이 이루는 각이 같습니다.

의료용 쇄석기, 속삭임 회랑 등의 원리에 활용됩니다.

매개화

원을 늘여 타원을 만든다

P (θ) = (a \cos θ, b \sin θ)

단위원의 x좌표를 a배, y좌표를 b배 하면 타원이 됩니다. 따라서 접점 P를 다룰 때 매우 편리합니다.

주의: θ는 보조원의 중심각이지, 일반적으로 타원에서 OP가 x축과 이루는 실제 각은 아닙니다.

원의 확장된 특수 경우

두 초점이 한 점으로 모이는 극한

c \to 0, a \to b = r, e \to 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = r^{2}

서로 다른 두 초점 F₁≠F₂를 전제로 한 거리합 정의에서는 c>0이다. 두 초점이 중심으로 합쳐지는 극한, 또는 표준형을 a=b까지 확장하면 모든 방향의 반지름이 같은 원을 얻는다.

따라서 원은 원래의 ‘서로 다른 두 초점’ 정의에 직접 포함된다기보다, 이심률이 0인 확장된 특수 경우로 이해한다.

넓이

왜 πab일까?

S = π a b

반지름 1인 원의 넓이 π가 가로 a배, 세로 b배 되므로 넓이는 ab배가 됩니다.

초점-준선 정의

거리의 비로도 설명할 수 있다

\frac{P F}{P D} = e < 1

한 초점 F와 한 준선에 이르는 거리의 비가 일정한 점의 자취도 타원입니다. 표준형의 준선은 x=±a/e (가로형)입니다.

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 의 준선: x = \pm \frac{25}{4}

이번 단원의 ‘준원’과 이름은 비슷하지만 전혀 다른 대상입니다.

대표 예제로 개념 잠그기

답을 보기 전에 조건과 적용 공식을 말로 먼저 설명해 보세요.

예제 1 · 초점

x²/25+y²/9=1의 초점을 구하여라.

c²=25−9=16이므로 c=4. 큰 분모가 x² 아래 있으므로 가로형이다.

F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)

예제 2 · 접점

타원 x²/25+y²/9=1 위의 점 (4,9/5)에서 접선을 구하여라.

16/25+(81/25)/9=16/25+9/25=1이므로 주어진 점은 타원 위에 있다.

4 x + 5 y = 25

예제 3 · 기울기

기울기가 1/2인 두 접선의 방정식을 구하여라.

$\sqrt{25 \cdot \frac{1}{4} + 9} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ .

y = \frac{x}{2} \pm \frac{\sqrt{61}}{2}

예제 4 · 준원

x²/25+y²/9=1의 준원과 준원의 반지름을 구하여라.

x^{2} + y^{2} = 34, 반지름 = \sqrt{34}

준원의 반지름은 초점거리 c가 아니라 √(a²+b²)임에 주의한다.

오개념 ① c²=a²+b²?

아니요. 타원의 초점은 c²=a²−b²입니다. a²+b²는 준원 반지름의 제곱입니다.

오개념 ② 큰 분모는 무조건 x?

아니요. 큰 분모가 y² 아래면 장축은 세로 방향이고 초점도 y축 위에 있습니다.

오개념 ③ 기울기 하나면 접선 하나?

보통 두 개입니다. ±를 빠뜨리지 말고, 수직접선은 가로형 x=p±a, 세로형 x=p±b로 별도로 봅니다.

오개념 ④ 아무 점이나 접점 공식?

(x−p)(x₁−p)/a²+(y−q)(y₁−q)/b²=1은 P(x₁,y₁)이 가로형 타원 위에 있을 때 그 점에서의 접선입니다. 세로형은 분모 a², b²의 위치가 바뀝니다.

한 장 요약

문제를 풀기 직전, 이 연결만 떠올리세요.

개념	핵심 식	확인할 조건
가로형 표준형	$\frac{{(x - p)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - q)}^{2}}{b^{2}} = 1$	C(p,q), a>b>0
초점	$c^{2} = a^{2} - b^{2}$	큰 분모 방향
정의	$P F_{1} + P F_{2} = 2 a$	$2 a > F_{1} F_{2} = 2 c$
접점의 접선	$\frac{(x - p) (x_{1} - p)}{a^{2}} + \frac{(y - q) (y_{1} - q)}{b^{2}} = 1$	P는 가로형 타원 위
기울기 접선	$y - q = m (x - p) \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}$	세로형은 a,b 교환
준원·심화	${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = a^{2} + b^{2}$	두 접선이 수직
이심률	$e = \frac{c}{a}$	서로 다른 초점: 0<e<1
매개화·넓이	$(a \cos θ, b \sin θ), π a b$	원에서의 확대