포물선 완전 개념

초점과 준선까지의 거리가 같은 점

한 점과 한 직선 사이의 ‘거리 같음’이 포물선을 만듭니다.

포물선초점 F준선

초점의 x좌표 p

점 P의 매개변수 t

점 P를 위아래로 끌어도 됩니다. 키보드 방향키로 슬라이더를 조절할 수 있습니다.

정의. 평면 위의 한 점 F와 그 점을 지나지 않는 한 직선 ℓ이 있을 때, F까지의 거리와 ℓ까지의 거리가 같은 점 P의 자취가 포물선입니다. F는 초점, ℓ은 준선입니다.

P F = P D

오른쪽으로 열린 표준형

y^{2} = 4 p x, p > 0

구성 요소

O (0, 0), F (p, 0), ℓ : x = - p

오개념 방지: p는 초점의 x좌표이면서 꼭짓점과 초점 사이의 거리입니다. 표준형의 계수는 2p가 아니라 4p입니다.

네 방향과 평행이동 표준형

제곱되지 않은 변수가 열리는 방향을 결정합니다.

방향	방정식	초점	준선
오른쪽	${(y - q)}^{2} = 4 p (x - h)$	$(h + p, q)$	$x = h - p$
왼쪽	${(y - q)}^{2} = - 4 p (x - h)$	$(h - p, q)$	$x = h + p$
위쪽	${(x - h)}^{2} = 4 p (y - q)$	$(h, q + p)$	$y = q - p$
아래쪽	${(x - h)}^{2} = - 4 p (y - q)$	$(h, q - p)$	$y = q + p$

읽는 순서: 꼭짓점 (h,q)를 찾고 → 제곱되지 않은 변수 방향을 보고 → 부호로 양의 방향/음의 방향을 결정합니다.

매개화

P (t) = (p t^{2}, 2 p t)

통경

L = 4 p

초점을 지나고 축에 수직인 현. 자료에 따라 ‘준현’이라고도 합니다.

통경 끝점

(p, \pm 2 p)

접점 또는 기울기가 주어진 접선

한 공식은 좌표에서, 다른 공식은 중근 조건에서 나옵니다.

접선법선절편

접점 매개변수 t

그래프 위의 P를 끌어 접점을 바꿔 보세요. p는 첫 번째 탐구의 값과 함께 바뀝니다.

접점 P(a,b)가 주어질 때

b y = 2 p (x + a)

단, P가 포물선 위에 있으므로 $b^{2} = 4 p a$ 입니다.

기울기 m이 주어질 때

y = m x + \frac{p}{m}, m \neq 0

직선 $y = m x + n$ 을 대입했을 때 판별식이 0인 조건입니다.

예외: m=0인 접선은 위 식에 넣을 수 없습니다. 꼭짓점 (0,0)에서의 접선은 $x = 0$ 인 수직선입니다.

접선의 절편이 만드는 마름모

좌표, 거리, 대각선이 한꺼번에 연결되는 포물선의 아름다운 구조입니다.

점 P의 매개변수 t

접점 P(a,b)에서 접선을 그어 x축, y축과 만나는 점을 각각 T, N이라 하고, P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 합시다.

x절편

T = (- a, 0)

y절편

N = (0, \frac{b}{2})

수선의 발

H = (- p, b)

네 변이 같다. 정의에서 PF=PH이고, 좌표로 계산하면 PF=PH=HT=TF=a+p입니다.

대각선의 공통중점은 y절편이다. FH와 PT의 중점이 모두

N = (0, \frac{b}{2})

입니다.

대각선은 수직이다. 방향벡터의 내적이

4 a p - b^{2} = 0

입니다.

따라서 꼭짓점 순서가 F → P → H → T인 사각형은 마름모이고, 대각선 FH와 PT는 접선의 y절편 N에서 수직으로 만납니다.

p = 1, t = 2 : P (4, 4), F (1, 0), H (- 1, 4), T (- 4, 0), N (0, 2)

초점을 지나는 현의 거리 관계

곱과 합의 관계, 역수의 합, 최소 길이가 하나의 매개화에서 나옵니다.

점 A의 매개변수 t₁

A와 B의 매개변수를 t₁, t₂라 하면 초점을 지나는 조건은 다음과 같습니다.

t_{1} t_{2} = - 1, F P = p (1 + t^{2})

곱과 합

F A \cdot F B = p (F A + F B)

역수의 합

\frac{1}{F A} + \frac{1}{F B} = \frac{1}{p}

또한 AB=FA+FB이고 양수의 산술·기하평균 관계를 이용하면

A B \geq 4 p

등호: FA=FB=2p일 때, 즉 초점현이 통경일 때입니다. 끝점은 $(p, \pm 2 p)$ 이고 길이는 4p입니다.

준선 위의 점에서 그은 두 접선은 직교

기울기 두 개의 곱이 −1이 되는 이유를 직접 확인합니다.

준선 위 점 D의 y좌표 k

D=(-p,k)를 지나는 기울기 m의 접선 $y = m x + \frac{p}{m}$ 에 D를 대입하면

p m^{2} + k m - p = 0

두 근을 m₁, m₂라 하면

m_{1} m_{2} = - 1

두 접선은 서로 수직입니다. 더 나아가 두 접점의 연결선인 접촉현은 언제나 초점 F를 지납니다.

외부점 U (u, v) 의 접촉현: v y = 2 p (x + u)

심화 · 접촉현/극선 U가 준선 위이면 u=−p이므로 위 식에 F(p,0)를 대입했을 때 성립합니다.

반사 성질과 법선

포물선 안테나와 자동차 전조등이 같은 원리를 씁니다.

반사 탐구

축과 평행한 빛은 초점으로

반사점의 매개변수 t

접선은 초점으로 향하는 선분과 축에 평행한 직선이 이루는 각을 이등분합니다. 반대로 초점에서 나온 빛은 반사 후 축과 평행하게 나갑니다.

접선과 법선

매개변수 t로 한 번에 쓰기

접선: t y = x + p t^{2}

법선: y = - t x + 2 p t + p t^{3}

p = 1, t = 2 : 접선 y = \frac{x}{2} + 2, 법선 y = - 2 x + 12

주의: 접선 기울기는 1/t, 법선 기울기는 −t입니다. t=0인 꼭짓점에서는 접선이 수직이므로 이 기울기 해석을 따로 처리합니다.

문제 풀이에 강해지는 추가 성질

절편, 길이, 외부점의 접선을 구조적으로 정리합니다.

접선 아래 길이

접선하와 법선하

접점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 접선과 법선의 x절편을 각각 T, G라 합시다.

접선하 Q T = 2 p t^{2} = 2 a

법선하 Q G = 2 p

법선하는 접점이 움직여도 항상 2p로 일정합니다.

심화 · 외부점

접선의 개수와 접촉현

외부점 U(u,v)를 지나는 접선의 접점 매개변수 t는

p t^{2} - v t + u = 0

을 만족합니다. 판별식 $v^{2} - 4 p u$ 이 양수·0·음수인지에 따라 접선이 2개·1개·0개입니다.

접촉현(극선): v y = 2 p (x + u)

초점거리

포물선 위 점은 x좌표로 거리를 읽는다

P F = x + p

준선까지의 수평거리와 같기 때문입니다. P(a,b)라면 PF=a+p입니다.

현의 방정식

두 매개점 t₁, t₂를 잇는 직선

(t_{1} + t_{2}) y = 2 x + 2 p t_{1} t_{2}

초점을 지나면 t₁t₂=−1이 즉시 나옵니다.

한 장 요약

조건과 예외까지 함께 기억하세요.

개념	핵심 관계	조건·포인트
정의	$P F = P D$	F는 초점, D는 준선에 내린 수선의 발
표준형	$y^{2} = 4 p x$	p>0, F(p,0), x=−p
접점 접선	$b y = 2 p (x + a)$	P(a,b)가 포물선 위
기울기 접선	$y = m x + \frac{p}{m}$	m≠0, 꼭짓점 접선 x=0 별도
절편	$T (- a, 0), N (0, \frac{b}{2})$	F-P-H-T 마름모, FH⊥PT at N
초점현	$F A \cdot F B = p (F A + F B)$	AB≥4p, 등호는 통경
준선 위 점	$m_{1} m_{2} = - 1$	두 접선 직교, 접촉현은 초점 통과
법선	$y = - t x + 2 p t + p t^{3}$	법선하 2p

기울기 접선 빠른 탐구

기울기 m을 정하면 접선과 접점이 하나로 결정됩니다.

기울기 m인 접선접점 Q

접선의 기울기 m

m=0은 허용되지 않습니다. 0에 가까워질수록 접점이 멀어지는 모습을 확인하세요.